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SUCESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS


LOGRO:
Diferenciar sucesiones aritméticas y geométricas, y resolver problemas aplicando cada una
SUCESIONES ARITMÈTICAS
 Una sucesión es aritmética si la diferencia d entre cada término y el anterior es constante.
Ejemplo: 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, . . . donde d = 4
CÁLCULO DE UN TÉRMINO
 Para calcular el término n-ésimo de una sucesión aritmética usamos la siguiente fórmula:

an = a1 + (n - 1).d 

Ejemplo: Si en la sucesión aritmética 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, . . .queremos determinar cuál es el término # 20
Lo podemos hallar escribiendo uno a uno los términos hasta llegar al término #20, o mejor usamos la fórmula anterior:
a20 = 3 + (20 - 1).4
a20 = 3 + 19x4
a20 = 3 + 76
a20 = 79
CÁLCULO DE LA SUMA DE LOS N PRIMEROS TÉRMINOS
Para calcular la suma de los n primeros términos de una sucesión aritmética usamos la siguiente fórmula:

Sn = n.(a1+ an)/2 

Ejemplo: Si en la sucesión aritmética 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, . . .queremos hallar la suma de los 20 primeros términos, lo podemos hacer sumando 3+7+11+. . .+79, o mejor usamos la fórmula anterior:
S20 = 20.(3 + 79)/2
S20 = 20.(82)/2
S20 = 820
VÍDEO EXPLICATIVO







SUCESIONES GEOMÉTRICAS
 Una sucesión es geométrica si al dividir cada término y el anterior da un valor constante, r.
Ejemplo: 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, . . . donde r = 2
CÁLCULO DE UN TÉRMINO
 Para calcular el término n-ésimo de una sucesión geométrica usamos la siguiente fórmula:
an = a1 . rn-1 

Ejemplo: Si en la sucesión aritmética 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, . . . queremos determinar cuál es el término # 20
Lo podemos hallar escribiendo uno a uno los términos hasta llegar al término #20, o mejor usamos la fórmula anterior:
a20 = 4 .  220-1
a20 = 4 . 219
a20 = 4 . 524288
a20 = 2'097.152
CÁLCULO DE LA SUMA DE LOS N PRIMEROS TÉRMINOS
Para calcular la suma de los n primeros términos de una sucesión aritmética usamos la siguiente fórmula:
sn = a1 . (rn – 1)/(r – 1) 

Ejemplo: Si en la sucesión aritmética 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, . . .queremos hallar la suma de los 20 primeros términos, lo podemos hacer sumando 
4+8+16+32+64+128+256+512, . . .+2'097.152, o mejor usamos la fórmula anterior:
S20 = 4 . (220 – 1)/(2 - 1)
S20 = 4 . (1'048.576 - 1)/1
S20 = 4 . (1'048.575)/1
S20 = 4'194.300
VÍDEO EXPLICATIVO

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Realizar la siguiente actividad interactiva 




1.- Ejercicios propuestos.
    1. Calcula el término que ocupa el lugar 100 de una progresión aritmética cuyo primer término es igual a 4 y la diferencia es 5.
    2. El décimo término de una progresión aritmética es 45 y la diferencia es 4. Halla el primer término.
    3. Sabiendo que el primer término de una progresión aritmética es 4, la diferencia 7 y el término n-ésimo 88, halla el número de términos.
    4. Halla el primer término de una progresión aritmética y la diferencia, sabiendo que a3 = 24 y a10 = 66.
    5. El término sexto de una progresión aritmética es 4 y la diferencia 1/2. Halla el término 20.
    6. Interpola cuatro medios aritméticos entre los números 7 y 27.
    7. Calcula los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que sus medidas, expresadas en metros, están en progresión aritmética de diferencia 3.
    8. Halla tres números que estén en progresión aritmética y tales que, aumentados en 5, 4 y 7 unidades respectivamente, sean proporcionales a 5, 6 y 9.
    9. Calcula la suma de los múltiplos de 59 comprendidos entre 1000 y 2000.
    10. El producto de tres términos consecutivos de una progresión aritmética es 80 y la diferencia es 3. Halla dichos términos.
    11. ¿Cuántos términos hay que sumar de la progresión aritmética 2, 8, 14,... para obtener como resultado 1064?
    12. La suma de n números naturales consecutivos tomados a partir de 11 es 1715. ¿Cuántos términos hemos sumado?
    13. Sabiendo que el quinto término de una progresión aritmética es 18 y la diferencia es 2, halla la suma de los nueve primeros términos de la sucesión.
    14. Se consideran 16 términos consecutivos de una progresión aritmética . La diferencia de los dos extremos es 16, y la suma del cuarto y el decimotercero es 18. Calcula los extremos.
    15. Una progresión aritmética limitada de 10 términos es tal que la suma de los extremos es igual a 20, y el producto del tercero y el octavo es 75. Formar los 10 primeros términos de la progresión.
    16. La suma de tres números en progresión aritmética es 33 y su producto 1287. Halla estos números.
    17. Tres números en progresión aritmética tienen por producto 16640; el más pequeño vale 20. Halla los otros dos.
    18. El producto de cinco números en progresión aritmética es 12320 y su suma 40. Halla estos números sabiendo que son enteros.
    19. Calcula tres números sabiendo que están en progresión aritmética, que su suma es 18 y que la suma del primero y del segundo es igual al tercero disminuido en dos unidades.
    20. La suma de los once primeros términos de una progresión aritmética es 176 y la diferencia de loa extremos es 30. Halla los términos de la progresión.

Actividad 2.

Gauss, de niño, hace un descubrimiento.
Gauss provenía de una familia muy modesta. Su padre fue jardinero y pintor de brocha gorda. Las dotes matemáticas del joven Gauss se manifestaron muy pronto.
Se cuenta de él que un día, a la edad de nueve años, cuando llegó a la clase de aritmética de la escuela primaria, el profesor les pidió a él y a sus compañeros que sumasen todos los números del 1 al 100. Gauss se paró a pensar, y en lugar de sumar todos, uno por uno, resolvió el problema en pocos segundos de la manera siguiente:
1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100 = (1 + 100) + (2 + 99) + ... + (50 + 51) = 50 · 101 = 5050
es decir, descubrió el principio de la fórmula de la suma de los términos de una progresión aritmética. A consecuencia de estos éxitos sus maestros se interesaron por él. Gauss estudió matemáticas y llegó a ser catedrático de matemáticas de Kazán, catedrático de astronomía y director del Observatorio Astronómico de Gotinga.
La petición del inventor de ajedrez.
Una leyenda cuenta que el inventor del ajedrez presentó su invento a un príncipe de la India. El príncipe quedó tan impresionado que quiso premiarle generosamente, para lo cual le dijo: "Pídeme lo que quieras, que te lo daré".
El inventor del ajedrez formuló su petición del modo siguiente:
"Deseo que me entregues un grano de trigo por la primera casilla del tablero, dos por la segunda, cuatro por la tercera, ocho por la cuarta, dieciseis por la quinta, y así sucesivamente hasta la casilla 64".
La sorpresa fue cuando el secretario del príncipe calculó la cantidad de trigo que representaba la petición del inventor, porque toda la Tierra sembrada de trigo era insuficiente para obtener el trigo que pedía el inventor.
¿Cuántos trillones de granos de trigo pedía aproximadamente?
Utliliza la calculadora para hallar el total de granos de trigo:
1 + 2 + 22 + 23 + ... + 262 + 263

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EVALUAR  


EVALUACIÓN DEL TEMA
1.       cuatro números en progresión aritmética, conociendo su suma, que es 22, y la suma de sus cuadrados, 166.
2.       La diferencia de una progresión aritmética es 4. El producto de los cuatro primeros términos es 585. Halla los términos.
3.       Halla los seis primeros términos de una progresión aritmética sabiendo que los tres primeros suman - 3 y los tres últimos 24.
4.       En una progresión aritmética el undécimo término excede en 2 unidades al octavo, y el primero y el noveno suman 6. Calcula la diferencia y los términos mencionados.
5.       En una progresión aritmética, los términos segundo y tercero suman 19, y los términos quinto y séptimo suman 40. Hállalos.
6.       Halla los ángulos de un triángulo sabiendo que están en progresión aritmética.
7.       Sabiendo que las medidas de los tres ángulos de un triángulo están en progresión aritmética y que uno de ellos mide 100º, calcula los otros dos.
8.       Halla las dimensiones de un ortoedro sabiendo que están en progresión aritmética , que suman 78 m. y que el volumen del ortoedro es de 15470 m3.
9.       Los seis ángulos de un hexágono están en progresión aritmética. La diferencia entre el mayor y el menor es 60º. Calcula el valor de cada ángulo.
10.   Las longitudes de los tres lados de un triángulo rectángulo están en progresión aritmética y suman 36 metros. ¿Cuánto mide cada lado?
11.   Un coronel manda 5050 soldados y quiere formar con ellos un triángulo para una exhibición, de modo que la primera fila tenga un soldado, la segunda dos, la tercera tres, etc. ¿Cuántas filas tienen que haber?
12.   Por el alquiler de una casa se acuerda pagar 80000 ptas. al mes durante el primer año, y cada año se aumentará el alquiler en 6000 ptas. mensuales. ¿Cuánto se pagará mensualmente al cabo de 12 años?
13.   Las edades de cuatro hermanos forman una progresión aritmética, y su suma es 32 años. El mayor tiene 6 años más que el menor. Halla las edades de los cuatro hermanos.
14.   Un esquiador comienza la pretemporada de esquí haciendo pesas en un gimnasio durante una hora. Decide incrementar el entrenamiento 10 minutos cada día. ¿Cuánto tiempo deberá entrenar al cabo de 15 días? ¿Cuánto tiempo en total habrá dedicado al entrenamiento a lo largo de todo un mes de 30 días?
15.   En una sala de cine, la primera fila de butacas dista de la pantalla 86 dm, y la sexta, 134 dm. ¿En qué fila estará una persona si su distancia a la pantalla es de 230 dm?
16.   Calcula el término undécimo de una progresión geométrica cuyo primer término es igual a 1 y la razón es 2.
17.   El quinto término de una progresión geométrica es 81 y el primero es 1. Halla los cinco primeros términos de dicha progresión.
18.   En una progresión geométrica de primer término 7 y razón 2, un cierto término es 28672. ¿Qué lugar ocupa dicho término?
19.   Sabiendo que el séptimo término de una progresión geométrica es 1 y la razón 1/2, halla el primer término.
20.   Interpola tres medios geométricos entre los números 8 y 128.

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